4.2 Factorial Notation - 知识点总结

核心定义总结

阶乘的定义

对于正整数 \(n\)，\(n\) 的阶乘记作 \(n!\)，定义为：

\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1\)

特别地，\(0! = 1\)（定义）

读作"\(n\) 阶乘"

阶乘记号的一般形式：

\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1\)

其中 \(0! = 1\)

阶乘的关键要点

阶乘只对非负整数定义
\(0! = 1\) 是特殊定义
\(1! = 1\)
阶乘增长非常快

组合定义总结

组合的定义

从 \(n\) 个物品中选择 \(r\) 个物品的方法数记作：

\({}^n C_r\) 或 \(\binom{n}{r}\)

计算公式：\({}^n C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

读作"\(n\) 选 \(r\)"

组合公式的一般形式：

\({}^n C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

其中 \(0 \leq r \leq n\)

组合的关键要点

组合只对 \(0 \leq r \leq n\) 定义
组合表示选择的方法数
与排列不同，组合不考虑顺序
与帕斯卡三角形密切相关

重要性质总结

阶乘的基本性质

阶乘的重要性质：

\(n! = n \times (n-1)!\)
\(0! = 1\)（特殊定义）
\(1! = 1\)
阶乘增长非常快

组合的基本性质

组合的重要性质：

\({}^n C_0 = 1\)（从 \(n\) 个物品中选择0个的方法数）
\({}^n C_n = 1\)（从 \(n\) 个物品中选择 \(n\) 个的方法数）
\({}^n C_r = {}^n C_{n-r}\)（对称性）
\({}^n C_1 = n\)（从 \(n\) 个物品中选择1个的方法数）

特殊组合值

常用的特殊组合值：

\({}^n C_1 = n\)
\({}^n C_2 = \frac{n(n-1)}{2}\)
\({}^n C_{n-1} = n\)
\({}^n C_{n-2} = \frac{n(n-1)}{2}\)

计算方法总结

阶乘的计算方法

直接计算：\(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1\)
递推计算：\(n! = n \times (n-1)!\)
使用计算器的 \(!\) 功能
注意计算精度

组合的计算方法

使用公式：\({}^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
使用计算器的 \({}^n C_r\) 功能
利用对称性：\({}^n C_r = {}^n C_{n-r}\)
利用特殊值简化计算

计算技巧

先约分再计算
利用阶乘的性质
注意计算精度
验证答案的合理性

应用总结

阶乘的应用

计算排列数
计算组合数
概率计算
二项式展开

组合的应用

帕斯卡三角形的系数
二项式展开的系数
概率计算
组合优化问题

实际应用

抛硬币的概率
抽样的方法数
排列组合问题
统计问题

常见错误分析

常见错误类型

忘记 \(0! = 1\) 的定义
混淆排列和组合
计算精度不够
忽略对称性

避免错误的方法

记住 \(0! = 1\) 的定义
区分排列和组合
注意计算精度
利用对称性验证

学习检查点

掌握程度自测

通过以下问题检查你的学习效果：

你能计算各种阶乘值吗？
你能计算组合值吗？
你能使用计算器计算吗？
你能理解组合的性质吗？
你能应用组合解决问题吗？
你能证明组合的性质吗？

下一步学习建议

完成练习题，巩固所学知识
重点练习阶乘和组合的计算
多做应用性的题目
注意总结计算方法和技巧
准备进入下一节的学习